L’égalité est sans aucun doute la forme la plus représentative des particularités du langage mathématique et tout particulièrement de sa grammaire. L'égalité ci-dessus est une phrase. Sans indication contraire et comme toute autre phrase d'un texte mathématique, elle doit être considérée comme un énoncé vrai. Pour un enfant, le signe égal se lit « C'est la même chose »...

A et B, « c'est pareil... ». L'objet A est le même que l'objet B. A et B c'est « la même chose », présentée puis racontée sous deux noms différents. D'un point de vue grammatical, A et B doivent être considérés comme des noms. A et B sont deux noms différents d'un même objet mathématique.

Imaginons un élève, écolier ou collégien, un usager de l’institution scolaire : il en a le langage, les savoirs et savoir-faire. Plaçons-le à présent face à cette ligne, face aux deux égalités ci-dessous...

… connait-il, reconnait-il ce qui est écrit ? Notre élève vous répondra en vous précisant qu’il reconnait, à gauche une addition et à droite une soustraction. Remarquons ici que nous sommes vous et moi d’anciens élèves et que nous serons nombreux à répondre comme lui. Un langage : « As-tu fait tes opérations ? », la réalité de quelques lignes écrites, visibles sur un (son) cahier d’exercices. Une image : à gauche, le calcul « à faire » et à droite, après le signe « égal(e) » : le résultat, la réponse, sa réponse.

Il faut avoir ce processus en tête pour ne pas oublier que l’élève, consciemment ou non, accorde une attention particulière au côté droit de l’égalité. Ce privilège sera encore renforcé lorsque notre élève apprendra à résoudre « ses » premières équations, ses premiers « calculs en x ». Ce travail se fait sur plusieurs lignes posées en regard mais il se juge sur la dernière, celle de la « réponse », celle qui a pris (et qui se doit d’être de...) la forme : « x = (un nombre)… ».

Pour l’élève, là encore : « x = résultat-calcul » et c’est ce nombre-résultat, à droite, qui est jugé « bon » ou « faux ».

De l'égalité et de sa grammaire

L’enfant que nous avions imaginé et placé face à l’écran d’un ordinateur (*) a grandi. Il a franchi facilement les étapes successives de l’apprentissage de ce que nous appelons le calcul-lecture : cinquante questions, la recherche d’un automatisme des réponses. Ce premier exercice...

... (*) établissait, installait les automatismes nécessaires à la seconde étape... (*) .

Ce travail accompli, l'enfant peut affronter les réalités de la grammaire mathématique, accéder enfin à l’autonomie et à la créativité. Plaçons-le en situation. Offrons lui le confort de l'horizontale.…

Un décompte...Le réel, la réalité est ici celle du matériel pédagogique utilisé dans les petites classes ( *). Les centimètres-cubes jaunes pèsent chacun un gramme. L’image « raconte » une expérience de vérification de ces réalités (j’ai considéré que tous les poids à gauche étaient visibles (17 grammes) et qu'à droite, deux cubes jaunes étaient cachés par le bord du plateau (on distingue un des sommets...)). Pour l'enfant, cette rencontre est essentielle : l’image de la balance en équilibre doit se superposer puis se confondre dans son esprit à l’image de l’égalité.

Ici, à l'abri de ces deux images et de leur vis à vis, il nous faut poser et imager un vocabulaire :

Le signe égal découpe et délimite les deux membres de toute égalité. Les bras humains, les bras de la balance humaine, l’homme, le droit, le juge. La balance, l'égalité, une horizontalité fragile, sensible, mais cependant adaptée à son usage. Notre balance scolaire se doit d’accueillir les poids de quelques grammes posés dans l’un de ses plateaux, et cela quelle que soient leurs positions respectives :

C’est à cette liberté de disposition que répond le signe des parenthèses. Son insertion est facile :

Il est tout aussi facilement clairement interprété comme le signe d'une association :

Une fois « associés », les deux termes d’une somme peuvent être « commutés » :

A cette sensibilité correspond la rigueur du langage mathématique :

Il nous faut apprendre à utiliser les parenthèses, à dissocier puis réassocier les termes de l'addition. Installons-nous (vous, moi, les grandeurs, les nombres, leur opératoire, notre imaginaire...) « confortablement » sur l'horizontale

Ainsi, à partir de ...

... il est facile d'écrire puis de relire et, ainsi de vérifier que :

On peut aussi profiter de ce travail de vérification pour proposer à l'élève d'indiquer par quelques mots très simples le raisonnement qu'il établit ainsi...

L’utilisation de l’écrit permet et assure une forme de domination et libère l'inventivité, la création... ou re-création personnelle. Cette créativité est une libération : l’élève passe de l’obéissance plus ou moins consciente et intelligente à la maîtrise de ses choix et de ses actes.