Sens, direction, orientation

« [...] La notion de similitude [...] est parmi les plus importantes : la notion de corps pareils, plus ou moins gros, s’est imposée aux hommes aussi primitivement et nécessairement que celle d’égalité
(Henri Lebesgue, Message d'un mathématicien, page 184)

L’homme, l’homo-sapiens, explore peu à peu l’espace autour de lui en choisissant d’abord une première direction pour cette reconnaissance. Il va ainsi, peu à peu, assimiler, prolonger l’espace dans lequel il peut vivre et se développer.

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Ce prolongement s'effectue d'abord par l’imaginaire (*) : à partir du connu, au delà de l'affine, c'est le « semblable » qui se révèle. « Prolonger » le connu, le reconnaitre autour de soi pour, enfin, distinguer ce qui est invariant dans (et malgré) les changements de forme, « les transformations » :

« […] La notion importante est celle de figures semblables : l’homothétie n’est que le moyen d’obtenir des figures semblables […] Henri Lebesgue, Message d'un mathématicien, p. 184) »

Des corps « pareils » mais plus ou moins gros, des corps (ou des figures) « semblables »... « Homothétie » est formé à partir du grec (homos « semblable » et thesis « position »). Le Robert précise que l’adjectif grec « homos » est apparenté au latin similis et à sa famille (sembler, similitude...). L'article « Homothétie » du Trésor Lexical de la langue Française informatisé précise :

MATH. (géom. projective). Propriété de deux figures dont chaque point de l'une correspond à un point de l'autre sur des droites menées à partir d'un point fixe appelé centre d'homothétie […]. Homothétie directe, inverse. Ayant choisi un point S qu'on nomme centre d’'homothétie et un nombre k qu'on nomme rapport d'homothétie ou rapport de similitude, on appelle homothétique d'un point quelconque M le point M'obtenu en joignant SM et prenant à partir du point S, sur cette droite ou sur son prolongement un segment SM' tel que SM'/SM = k (HADAMARD, Géom. plane, 1898, p. 134). (TLFi)

Ci-dessus, deux séquences « vidéos » qui présentent et explorent la même notion, celle de figures semblables. Celle de gauche est facilement accessible sur le site d’« Alloprof ». Celle de droite est celle dont nous avons déjà utilisé vingt-cinq secondes pour aborder : «  Volume et numération décimale * ».

« Alloprof » présente la notion d’homothétie (une sage suite de plans fixes commentés par la voix du « prof ») comme un « savoir-faire », appréhendé (appris) à partir de pratiques et de manipulations réelles et réalisables en classe. « Volume » utilise avec talent et ingéniosité l’« animation » pour illustrer les « effets » (les exploits) du facteur k. L’un se fixe sur le plan horizontal de la table, sur l’espace de travail de l’élève. L'autre projette ses images « animées » sur l'écran vertical habituel des élèves et de la classe : le « tableau noir ».

Si vous avez la curiosité de regarder et d’écouter quelques minutes de cette séquence d'« Alloprof », vous comprendrez vite que le langage, le français employé, est celui du Québec. J’imagine aussi que vous apprécierez alors sa simplicité et son efficacité. La « voix » entendue est manifestement celle du « prof » : elle donne au langage, aux notations, aux abréviations du langage écrit une valeur privilégiée, « officielle ».

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Les termes de « figure » et de « sommets » permettent de parler et ainsi de délimiter, de définir et séparer l’intérieur et l’extérieur de la figure mais aussi d'évoquer, sans plus de précisions, la taille ou la grandeur de la figure image « par rapport à la figure initiale ». Par contre « le prof » insistera sur la notion de figure résultante de l'homothétie et détaillera cette simple et très utile façon de procéder :
    « [...] on note les sommets de la figure initiale par les lettres de l'alphabet [...] »
    « [...] on note par les mêmes lettres la figure image [...] »
    « [...] « A » sur la figure initiale « se présente A' » et, ainsi, représente A sur la figure image […] ».


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Simplicité précision et clarté : quatre cas sont séparés, détaillés, examinés.

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Ce qui est surprenant est qu’à aucun moment de cette séquence les mots de « sens » , de « direction » ou d’ « orientation » ne sont utilisés alors que l’utilisation des lettres A, B et C provoque la confrontation de l’ordre alphabétique, de l’ordre de lecture et, pour un triangle, de l’ordre de rotation (horaire ou anti-horaire) : on ne parlera donc pas d’homothétie directe ou inverse

On relie... (« On va relier le sommet et le centre d'homothétie et on va le faire passer de l'autre côté du centre d'homothétie... »). On mesure... (« On va mesurer chacun des segments entre le sommet et le centre d'homothétie... »). Le langage utilisé est simple, familier...

Il faut rappeler ici que les mathématiques et les mathématiciens utilisent le lien borroméen entre l'image et le langage pour donner un sens particulier à certains objets mathématiques. L'image ci-dessous...

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... est si habituelle

En l'absence de ces expressions ce sont les « positions » des points (« du même côté », de l'autre côté » ou « du côté opposé ») sont employées avec insistance. Il est important Leur présence

Le Réel, la réalité du tracé (on relie…), de la mesure (marquée par l’apparition du signe de l’égalité). Sur et autour de ce réel, de cet anneau du réel, s’enchevêtre l’image et sa puissance « englobante » (la figure…). « Alloprof » montre clairement le rôle délicat de l’enseignant, l’usage prudent qu’il fait du langage, des mots qu’il emploie à telle ou telle « occasion ». Les élèves ont déjà « rencontré » la droite numérique et on devine qu’ils ont alors appris à nommer (et à confondre) chaque nombre avec la « Position d’un point » :

On apprécie mieux alors l’insistance avec laquelle « le prof » parle de point image situé à l’opposé du point initial par rapport au centre d’homothétie. On remarque alors l'usage particulier du lien borroméen entre le langage et l'image qu'instituent les mathématiques et mathématiciens...

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... l'opposition horizontale gauche/droite permet de qualifier les inverses haut/bas

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Cette prudence dans l'emploi du langage est, ci-dessous, comme balayée, emportée par le mouvement, par l’animation de l’image… Les mots sont employés avec une certaine désinvolture : à peine énoncée, la direction devient dimension.

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Tout aussitôt, l'image s'anime et cette direction/dimension s'allonge, le cercle/disque représentant le volume s’étire, s’allonge lui aussi, devient ellipse, ce qui offre plus de place à l’écrit. Le symbole « V » s’efface, l’ellipse naissante est vide, comme en attente…..

La formule... Avec le signe de l'égalité, une nouvelle formule apparait. J’ai découpé une séquence de onze secondes (ci-dessus à droite) pour nous permettre un examen attentif : avez-vous remarqué que la flèche blanche rosit, passe du blanc au rouge, que le symbole « x » rosit lui aussi et qu’à l’instant 0.04 un nouveau personnage s'annnonce : « x » devient (s’allonge en…) « kx »… alors que, du même mouvement « V » s'allonge en « kV ».

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Cette « apparition » d’un nouveau symbole est aussitôt soulignée par une nouvelle phrase, des lettres se forment, se détachent du tableau noir, s’assemblent… Un nouveau texte s'affiche, une phrase apparait et se referme sur un point d’exclamation. A peine apparue, la lettre « k » est instituée en symbole : elle marque l'importance de ce nouveau personnage... Le facteur k... On pense à un de nos héros actuels : Super-solide peut s’étirer, s’allonger à volonté…

... se transformer, s'étendre, « gonfler »...

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... en longueur, en surface, en volume.

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