Géométrie affine
Donner vie, mettre en mouvement les mathématiques et leurs « objets » : voir le trait vertical, ce simple bâton de toutes les comptabilités, prendre vie, se déplacer, se déployer sur les différents niveaux de l’écran. Voir le symbole « + », le signe de l'addition, rouler...
... et ainsi voir (et entendre) se « dérouler » l'arithmétique. A votre gré, dix-neuf secondes (ou plus) : regardez, regardons « Rythmétic ». Pourrons nous « Voir » et même ressentir les difficultés, les soucis du signe de l'égalité...
... bien seul pour vérifier, contrôler dans ce qui se déroule et s'écrit : le sens...
Une fois, deux fois, trois fois, dix fois… plus gros, plus grand, plus long, plus large, plus lourd ?
« [...] Conduire à la notion de volume ! C'est pour nous une notion première ; je veux dire acquise par les enfants avant que nous nous en mêlions. Le bambin qui s'écrie « Mon tas de sable est TROIS FOIS gros comme celui de Renée. » a la notion de volume. [...] » (Henri Lebesgue, Message d'un mathématicien, page 184)
Cette phrase et ce tas de sable nous entrainent dans un univers enfantin : une fois, deux fois, trois fois, dix fois… plus gros, plus grand, plus long, plus large, plus lourd…
On imagine l’enfant, le seau, la « petite » pelle… Henri Lebesgue parle de la notion de volume comme d'une notion première : ce « trois fois plus gros » de l’enfant nous apparait alors comme l’expression de sa fierté. Cette expression mesure « bien des choses » : le volume bien sûr, son évidence, son immédiate visibilité, mais aussi, comme en arrière-plan, le travail, les déplacements, les charges, les transports effectués. Le nombre ne se réalise, ne s'imagine que par la quantité (nombre ou quantité de... ).
« [...] La notion de similitude [...] est parmi les plus importantes : la notion de corps pareils, plus ou moins gros, s’est imposée aux hommes aussi primitivement et nécessairement que celle d’égalité
(Henri Lebesgue, Message d'un mathématicien... )
Le grand, le moyen et le petit
Enfant ou adulte, comment séparer, coomment extraire de la réalité, du réel ou de l’imaginaire, ce que le langage distingue en nombre et quantité ? Là encore, les « messages » d’Henri Lebesgue sont essentiels. Trois citations définissent notre programme : (Henri Lebesgue, A propos de la mesure des grandeurs, Œuvres scientifiques volume V, page 190).
« […] La mesure des grandeurs engendre les nombres ; elle n'utilise pas des nombres antérieurement définis de façon abstraite […] »
« […] Notre enseignement n’utilise pas encore pleinement ce fait historique, le plus important peut-être de l’histoire des sciences : l’invention de la numération décimale. […] »
« […] Nous avons la chance unique d’avoir à notre disposition une langue universelle, la numération décimale écrite, utilsons-là. […] »
La notion de volume et la numération décimale… Vingt-cinq secondes ! Qu’en dites-vous ?
L’image de départ est connue et facilement reconnue : une forme, celle d'un cube, un petit cube…
Des lettres apparaissent, des mots se forment, s’alignent : une phrase s’installe, s’impose...
Ensuite...
Une fois, deux fois, trois fois, dix fois… plus gros, plus grand, plus long, plus large, plus haut ?
Dans un décimètre-cube... « Dans » est un adverbe de lieu. Ce lieu, ce décimètre-cube dans lequel seront placés, rangés mille centimètres-cubes... Le décimètre-cube « volume » devient un décimètre-cube « capacité », capacité à retenir, à enfermer… Du matériel, une prise en main, des exercices de manipulation s'imposent...
La prise en main... un cube de un décimètre de côté n'est pas facile à saisir d'une main... D'autres formes de récipients de même volume, de même capacité doivent être disponibles et proposées à l'usage. Le litre, le liquide... la densité (*) et le poids s'annoncent... Les centimètres cubes jaunes...
... posés dans le plateau droit de la balance sont réalisés en un plastique assez « léger » et certains modèles sont évidés et « calculés » de façon à ce que leur poids soit de un gramme. Un centimètre-cube pour un gramme... la densité de l'eau, un litre/décimètre-cube d'eau pour un kilograme : le choix des savants de la révolution...