Images vectorielles

Pouquoi ne pas associer le vecteur, son image, son imaginaire aux premiers apprentissages numériques ? Nous sommes au vingt et unième siècle. Sur nos écrans tactiles, au creux de notre main, d’un simple mouvement du pouce et de l’index, nous agrandissons ou réduisons les images :

Au vingt et unième siècle, le professeur apprendra à ses élèves à différentier les différentes grandeurs d'un triangle. Pour cela il imaginera et réalisera une animation (comme ci-dessus avec Géogébra). Il est facile d'y reconnaitre et d'y distinguer les deux grandeurs variables (longueurs et aires) et de leur opposer l'invariance des « écarts angulaires » des « trois angles ». C'est aussi, pour le professeur, l'occasion de mettre en valeur la clarté et la souplesse de l'écriture algébrique et d'apprendre à ses élèves à distinguer l'algèbre des grandeurs de l'algèbre des vecteurs.

Les élèves d'« alloprof » et les lecteurs/spectateurs/auditeurs de la page précédente (*) ont compris et mémorisé ce qu’est l’homothétie. Je pense qu'ils sauront reconnaitre la similitude des triangles ci-dessus. Je pense aussi que ce savoir englobe la reconnaissance de la longueur des côtés et du rapport de cette similitude mais qu'aucun d'entre eux (ni aucun d'entre nous) n'est capable de démêler ce qui, du dessin ou des notations, détermine cette « lecture ». Lorsqu'on s'arrête et l'on s'interroge sur cette reconnaissance, on soupçonne assez vite que les allers-retours du regard (a ➔ 2a, b ➔ 2b et c ➔ 2c) sont déterminants : a, 2a, b, 2b,  c et 2c sont des longueurs. 2a est (se lit...) le double de a... Ces mêmes allers-retours du regard ouvrent une interrogation : quelle signification, quel sens donner aux « objets » A et B ? La réponse se lit ci-dessous en un autre aller-retour du regard : l'aire du triangle de droite est ...

un... deux... trois... quatre fois plus grande que celle du triangle de gauche. Ci-dessous ...

... le décompte est tout aussi « lisible » : l'aire du triangle ci-dessus est ... cinq, plus trois, plus un... neuf fois plus grande que celle du « petit » triangle tout au dessus à gauche. Du triangle « moyen » à ce « grand » triangle, les longueurs sont dans un rapport de deux à trois et les aires de quatre à neuf.

Le vecteur… un « objet » mathématique d’autant plus essentiel que son émergence tardive dans l’histoire de ces mêmes mathématiques (aux alentours de 1930) a suscité et permis une réforme (une refondation ?) du vocabulaire. A cette occasion sont apparus et/ou ont été institués des graphismes « représentatifs » de la notion ainsi présentée. Cette richesse est elle-même un problème. Les élèves sauront sans doute reconnaitre l'opposition variable/constante figurée ci-dessous...

... sauront-ils apprécier chacune des mises en vis-à-vis gauche-droite et haut/bas ainsi assemblées ? Sauront-ils reconnaitre et distinguer les constantes (facteurs) inverses et projeter, comme pour les triangles semblables figurés ci-dessus, cette reconnaissance sur l'algèbre vectorielle et les « transformations » géométriques ?

Sauront-ils exprimer (et résumer) ces savoirs par la claire reconnaissance des différentes grandeurs et rapports de grandeurs ainsi révélés et lisibles.

LE TEMPS

4 minutes 15 secondes pour le concept d'aire (aire des figures simples) ; 7 minutes 41 secondes pour le volume (volume des solides usuels). Mieux encore : trois secondes (ci-dessous) suffisent à nos auteurs pour résumer leur démarche :

Donner de l’importance, du poids à la figure et à la formule : à la forme « rectangle », est désormais liée, attachée une phrase et un processus très simple : « le calcul ». Avec lui, le nombre s’impose au détriment de la notion de grandeurs, de différentes grandeurs, de leur rapport. L’imagination et le talent des auteurs de ces deux logiciels m’ont été bien utiles (*) et je serais bien ingrat de ne pas le reconnaitre et le souligner. Trois secondes d’animation leur suffisent pour que l’Image affirme sa prépondérance sur le Langage. Ce pouvoir est fragile, le Réel saura rapidement reprendre sa place.

Une phrase, une question, quelques mots suffisent : comment dessiner, imager (... comment imaginez-vous... ) un rectangle trois fois plus grand ?

11 secondes ou 24 secondes, la créativité et l’audace des auteurs n’y suffisent pas… L'algèbre numérique doit être différentiée et, pour cela, considérée comme un premier exercice. dans la perpective des comme un exercice préparant avant l'algèbre des grandeurs et l'algèbre des vecteurs. L'ordre de ces différents étapes et le temps accordé à chacune sont évidemment déterminants. La véritable difficulté est d'apprécier les transformations de ces différentes « façons de voir ».

J'ai voulu, j'ai tenté (je me suis permis) de copier/voler/emprunter un peu de la créativité de ces auteurs pour « imager » l'objet « nombre-grandeur-vecteur » étudié/évoqué ci-dessus...

...le temps long...

..Un seul mot : « mot-image » et « mot-idée », un idéogramme, Langage, Image, Réel confondus...

L'image est celle d'une bouche humaine, d'une bouche ouverte... Le réel : une bouche à nourrir.